フロントページを固定ページにする機能はガタガタ様のテーマ「EASEL」の機能でなくWordPress自体の標準機能ですが、気になったので軽く調べてみました。同様の条件での再現は試していませんのでご了承ください。
まずご確認いただきたいのは、該当の固定ページは「公開済み」になっていますか？
固定ページを作成しても、全ての固定ページが「下書き」や「非公開」の状態ですと
・外観>カスタマイズ>ホームページ設定
・設定>表示設定>ホームページの表示
どちらもフロントページを投稿か固定ページか選択する項目自体が表示されないようです（ローカルで実際に固定ページを全て下書き状態にしたら出てこなくなり、公開にすると元に戻りました）。
固定ページが公開済みでも出てこない場合は、キャッシュが残っているかプラグインやカスタマイズでの干渉での不具合かどちらかが可能性が高いかなと思います。全てのキャッシュをクリアしたり、バックアップをとった上でひとつひとつ原因を探っていったりすることが有用かと思います。